مشتق تابع مرکب در ریاضی دوازدهم؛ تشخیص لایه‌ها و نوشتن راه‌حل تشریحی

مشتق تابع مرکب در ریاضی دوازدهم را از ترتیب عملیات شروع کنید

تابع مرکب را می‌توان مانند زنجیره‌ای از عملیات خواند. در عبارت y=(3x+1)^4، ابتدا x در ۳ ضرب می‌شود، سپس ۱ به حاصل اضافه می‌شود و در پایان، کل عبارت به توان ۴ می‌رسد. بنابراین 3x+1 تابع درونی و توان چهارم، عمل بیرونی است. برای پیدا کردن لایه بیرونی، از خود بپرسید آخرین کاری که روی ورودی انجام شده چیست. پاسخ این پرسش معمولاً نقطه شروع مناسبی برای مشتق‌گیری است.

پیش از نوشتن مشتق، زیر عبارت درونی خط بکشید یا آن را داخل کادری کوچک قرار دهید. سپس جای آن یک حرف موقت مانند u بگذارید: u=3x+1 و y=u^4. این جایگزینی باید ساختار عبارت را حفظ کند. اگر پس از جایگزینی، بخشی از عبارت اصلی ناپدید شده باشد، مرز تابع درونی را درست انتخاب نکرده‌اید. هدف از این کار، کوتاه‌کردن ظاهری محاسبه نیست؛ باید مشخص شود هر قاعده مشتق دقیقاً روی کدام بخش اجرا می‌شود.

• عبارت را از ورودی x تا آخرین عملیات بخوانید.
• آخرین عملیات را به‌عنوان لایه بیرونی مشخص کنید.
• عبارت داخل آن را بدون تغییر با u جایگزین کنید.

قاعده زنجیره‌ای را با حفظ عبارت درونی بنویسید

اگر y=f(g(x)) باشد، قاعده زنجیره‌ای به شکل y′=f′(g(x))×g′(x) نوشته می‌شود. این رابطه دو بخش دارد: مشتق تابع بیرونی که همچنان عبارت درونی در آن قرار دارد، و مشتق خود عبارت درونی. در مرحله اول نباید g(x) را بی‌دلیل به x تبدیل کنید. مثلاً مشتق لایه بیرونی در (3x+1)^4 برابر 4(3x+1)^3 است؛ عبارت داخل پرانتز در این مرحله دست‌نخورده می‌ماند.

برای مثال آموزشی y=(3x+1)^4، ابتدا می‌نویسیم u=3x+1 و u′=3. سپس از توان چهارم مشتق می‌گیریم و نتیجه را به عبارت اصلی برمی‌گردانیم: y′=4(3x+1)^3×3. در پایان می‌توان آن را به صورت y′=12(3x+1)^3 ساده کرد. نگه‌داشتن خط پیش از ساده‌سازی کمک می‌کند معلوم باشد عدد ۱۲ چگونه به دست آمده و عامل مربوط به تابع درونی حذف نشده است.

• ابتدا فقط از لایه بیرونی مشتق بگیرید.
• عبارت درونی را در جای خودش نگه دارید.
• مشتق عبارت درونی را به‌صورت یک عامل جدا بنویسید.
• پس از کامل‌شدن حاصل‌ضرب، ساده‌سازی کنید.

ضرب توابع را با ترکیب توابع اشتباه نگیرید

پرانتز به‌تنهایی نشانه کافی برای انتخاب قاعده نیست. در y=(x+1)(x^2+2)، دو عبارت در هم ضرب شده‌اند؛ در سطح بیرونی با حاصل‌ضرب روبه‌رو هستیم. اما در y=(x^2+2)^3، یک عبارت ورودیِ عمل توان سوم است و باید قاعده زنجیره‌ای را اجرا کنیم. پیش از محاسبه، رابطه بین قسمت‌های اصلی را نام ببرید: جمع، ضرب، تقسیم یا قرارگرفتن یک تابع در تابع دیگر. همین نام‌گذاری کوتاه، انتخاب قاعده را روشن می‌کند.

گاهی هر دو ساختار در یک عبارت حضور دارند. در مثال آموزشی y=x^2(x+1)^3، ابتدا قاعده مشتق حاصل‌ضرب را به کار می‌بریم: y′=2x(x+1)^3+x^2×3(x+1)^2×1. در جمله دوم، مشتق عامل (x+1)^3 با قاعده زنجیره‌ای محاسبه شده است. اگر از همان ابتدا همه عبارت را یک توان در نظر بگیرید، ساختار ضرب را از دست می‌دهید. قاعده مربوط به بیرونی‌ترین اتصال را انتخاب کنید و سپس داخل هر قسمت پیش بروید.

• وجود دو پرانتز کنار هم را از وجود یک عبارت داخل توان جدا کنید.
• در عبارت‌های ترکیبی، ابتدا نوع اتصال اصلی را تشخیص دهید.
• قاعده زنجیره‌ای ممکن است فقط در یکی از بخش‌های راه‌حل لازم شود.

در عبارت‌های چندلایه، برای هر لایه یک عامل نگه دارید

برای دیدن سه لایه، عبارت آموزشی y=((x^2+1)^3+2)^4 را بررسی کنید. آخرین عملیات، توان چهارم است. درون آن، عبارت (x^2+1)^3+2 قرار دارد که مشتقش به مشتق توان سوم نیاز دارد. خود توان سوم نیز عبارت درونی x^2+1 را دارد. اگر بخواهید همه این مراحل را ذهنی انجام دهید، ممکن است یکی از عامل‌ها فراموش شود. بهتر است ترتیب لایه‌ها را پیش از محاسبه روی کاغذ مشخص کنید.

مشتق را از بیرون به درون می‌نویسیم: y′=4((x^2+1)^3+2)^3×3(x^2+1)^2×2x. عامل اول از توان چهارم، عامل دوم از توان سوم و عامل سوم از x^2+1 آمده است. مشتق عدد ثابت ۲ در عبارت میانی صفر می‌شود. پس از کامل‌شدن این خط می‌توان ضرایب را ضرب کرد، اما برای تمرین اولیه، همین شکل حاصل‌ضربی امکان بررسی بهتری دارد؛ هر عامل باید منشأ مشخصی در عبارت اولیه داشته باشد.

• لایه‌ها را از بیرون به درون شماره‌گذاری کنید.
• با رسیدن به هر لایه، مشتق مربوط به آن را بنویسید.
• تا رسیدن به عبارتی که مشتقش مستقیم محاسبه می‌شود ادامه دهید.

خطای پاسخ را به مرحله مشخص آن برگردانید

فرض کنید برای y=(2x−5)^4 نوشته‌اید y′=4(2x−5)^3. این پاسخ فقط مشتق لایه بیرونی را دارد و عامل ۲، یعنی مشتق عبارت درونی، در آن نیست. اصلاح پاسخ باید از همان محل انجام شود: y′=4(2x−5)^3×2=8(2x−5)^3. در دفتر تمرین، کنار این نمونه بنویسید «مشتق درون جا افتاد». عبارت مبهمی مثل «بی‌دقتی کردم» به شما نمی‌گوید در تمرین بعدی کدام مرحله را بررسی کنید.

خطای دیگری زمانی رخ می‌دهد که دانش‌آموز مشتق عبارت درونی را زودتر جای خود عبارت می‌گذارد؛ مثلاً برای y=(x^2+1)^3 می‌نویسد y′=3(2x)^2. در مشتق لایه بیرونی، باید x^2+1 همچنان داخل پرانتز بماند. پاسخ درست y′=3(x^2+1)^2×2x است. برای اصلاح این خطا، عبارت اولیه و خط مشتق را کنار هم قرار دهید و نشان دهید کدام پرانتز حفظ شده و کدام عامل تازه از مشتق‌گیری به وجود آمده است.

• عامل درونی حذف شده است: مشتق داخل پرانتز را جدا محاسبه کنید.
• داخل پرانتز زود تغییر کرده است: مرحله مشتق بیرونی را دوباره بنویسید.
• قاعده اشتباه انتخاب شده است: اتصال اصلی عبارت را دوباره تشخیص دهید.
• ضریب نهایی نادرست است: خط حاصل‌ضربی پیش از ساده‌سازی را بررسی کنید.

یک تمرین را با خروجی قابل‌بررسی انجام دهید

برای اجرای مستقل روش، مثال آموزشی y=(x^2−3x+2)^5 را بردارید. پیش از دیدن ادامه، سه چیز بنویسید: عبارت درونی، مشتق آن و مشتق لایه بیرونی با حفظ پرانتز. عبارت درونی x^2−3x+2 و مشتق آن 2x−3 است. مشتق لایه بیرونی نیز 5(x^2−3x+2)^4 می‌شود. با کنار هم گذاشتن این دو بخش، داریم y′=5(x^2−3x+2)^4(2x−3). لازم نیست توان چهارم را بسط دهید؛ این شکل پاسخ، اجزای قاعده را آشکار نگه می‌دارد.

اکنون عبارت را به y=(x^2−3x+2)^2 تغییر دهید و دوباره حل کنید. این بار می‌توانید برای کنترل، ابتدا عبارت را بسط دهید و از چندجمله‌ای حاصل مشتق بگیرید؛ نتیجه دو روش باید پس از ساده‌سازی یکسان شود. بسط‌دادن برای این مثال کوتاه، ابزار بررسی است. در عبارت‌های با توان بزرگ، ابتدا به ساختار عامل‌ها برگردید و بررسی کنید مشتق هر لایه حضور دارد. در پایان تمرین، فقط جواب نهایی را علامت نزنید؛ مرحله‌ای را مشخص کنید که بدون کمک انجام داده‌اید یا هنوز در آن تردید دارید.

• پیش از محاسبه، درون و بیرون را مشخص کنید.
• یک خط کامل پیش از ساده‌سازی تحویل دهید.
• در مثال کوتاهِ توان دوم، نتیجه را با روش بسط مقایسه کنید.
• برای تمرین بعدی، خطای مشخص خود را هدف بگیرید.

جمع‌بندی

برای نوشتن مشتق تابع مرکب، یک روال ثابت بسازید: ترتیب عملیات را بخوانید، لایه بیرونی را تشخیص دهید، عبارت درونی را حفظ کنید و مشتق آن را در نتیجه ضرب کنید. در تمرین‌های آغازین، خط حاصل‌ضربی را نگه دارید تا منشأ هر عامل دیده شود. اگر پاسخ نادرست بود، محل خطا را میان تشخیص ساختار، حفظ عبارت درونی، نوشتن عامل‌ها و ساده‌سازی پیدا کنید. تمرین بعدی را طوری انتخاب کنید که همان مرحله را دوباره، این بار مستقل و روشن، انجام دهید.