حل معادله مثلثاتی در ریاضی دوازدهم؛ همه جواب‌های بازه را پیدا کنید

پیش از محاسبه، مجهول و بازه را از هم جدا کنید

بالای راه‌حل بنویسید چه چیزی مجهول است و چه محدودیتی دارد. در معادله sin(2x) = 1/2، مجهول x است، اما زاویه‌ای که سینوس آن گرفته می‌شود 2x است. این دو نقش را یکی نگیرید. اگر x از صفر تا 2π تغییر کند، زاویه 2x از صفر تا 4π می‌رود؛ بنابراین روی دایره مثلثاتی دو دور را پوشش می‌دهد.

واحد زاویه را نیز از صورت تمرین و قرارداد آن مشخص کنید. در مثال‌های این مقاله زاویه‌ها بر حسب رادیان‌اند. نوشتن عدد ۳۰ در کنار π/6، بدون علامت درجه یا توضیح واحد، مسیر محاسبه را مبهم می‌کند. اگر تمرین با درجه نوشته شده است، روابط تناوب را هم با درجه ادامه دهید. تغییر واحد ممکن است، اما باید همه زاویه‌ها و مرزهای بازه را هماهنگ تبدیل کنید.

• بازه بسته دو سر خود را می‌پذیرد؛ در بازه باز، مقدار مرزی عضو جواب نیست.
• عبارت داخل تابع را مشخص کنید؛ x، دو برابر x و نصف x بازه یکسانی ندارند.
• برای سینوس و کسینوس، مقداری بیرون از فاصله منفی یک تا یک نمی‌تواند حاصل تابع برای زاویه حقیقی باشد.

حل معادله مثلثاتی در ریاضی دوازدهم با شاخه‌های کامل جواب

در معادله sin(t) = sin(α)، یک خانواده جواب از t = α + 2kπ و خانواده دیگر از t = π − α + 2kπ به دست می‌آید؛ در هر دو رابطه k عدد صحیح است. این دو خانواده بازتاب برابری مؤلفه عمودی نقاط روی دایره مثلثاتی‌اند. فقط نوشتن زاویه‌ای که از جدول نسبت‌ها به یاد دارید، ممکن است خانواده دوم را حذف کند.

برای cos(t) = cos(α)، خانواده‌ها t = α + 2kπ و t = −α + 2kπ هستند. رابطه سینوس را به کسینوس منتقل نکنید. ابتدا ببینید با کدام تابع کار می‌کنید و سپس رابطه مناسب را بنویسید. در مقدارهای ویژه، ممکن است دو خانواده جواب‌های تکراری بدهند؛ مجموعه نهایی هر مقدار را فقط یک بار شامل می‌شود. برای مثال، دو شاخه سینوس در مقدار یک به یک خانواده یکسان می‌رسند.

• α در این روابط یک زاویه شناخته‌شده با مقدار تابع موردنظر است.
• صفر هم یکی از مقدارهای صحیح k است؛ فقط عددهای مثبت را امتحان نکنید.
• محدودیت بازه تعیین می‌کند کدام مقدارهای k قابل استفاده‌اند؛ تعداد جواب‌ها را از پیش حدس نزنید.

مثال عملی: زاویه دو برابر مجهول را حل کنید

معادله تمرینی sin(2x) = 1/2 را در بازه 0 ≤ x ≤ 2π در نظر بگیرید. برای روشن‌ماندن نقش زاویه، t = 2x می‌گذاریم. پس بازه تازه 0 ≤ t ≤ 4π است. چون sin(π/6) = 1/2، دو خانواده زاویه عبارت‌اند از t = π/6 + 2kπ و t = 5π/6 + 2kπ. اکنون باید اعضای همین دو خانواده را در بازه t پیدا کنیم.

در هر خانواده، k برابر صفر و یک داخل بازه قرار می‌گیرد؛ مقدارهای منفی و مقدارهای دو به بالا بیرون می‌افتند. بنابراین چهار مقدار برای t داریم. پس از تقسیم هر کدام بر دو، مجموعه جواب مجهول اصلی چنین است: x ∈ {π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12}. دقت کنید که نصف‌کردن زاویه‌ها در پایان انجام شده و بررسی بازه پیش از آن بر اساس t بوده است.

برای کنترل، هر مقدار x را در عبارت 2x قرار دهید. زاویه‌های حاصل به ترتیب π/6، 5π/6، 13π/6 و 17π/6 هستند و سینوس هر چهار زاویه برابر یک‌دوم است. دو مرز بازه اصلی، یعنی صفر و 2π، جواب نیستند؛ زیرا در هر دو حالت سینوسِ دو برابر زاویه صفر می‌شود.

• شاخه اول در بازه t: مقدارهای π/6 و 13π/6.
• شاخه دوم در بازه t: مقدارهای 5π/6 و 17π/6.
• بازگشت به مجهول اصلی: x = t/2.
• کنترل کامل‌بودن: هر دو شاخه و همه دوره‌های داخل بازه بررسی شده‌اند.

جواب‌های درست اما ناقص را چگونه تشخیص دهید؟

فرض کنید دانش‌آموزی برای مثال قبل فقط π/12 و 5π/12 را نوشته است. هر دو مقدار معادله را برقرار می‌کنند، پس جای‌گذاری آن‌ها خطایی نشان نمی‌دهد. مشکل این پاسخ، وجود مقدار نادرست نیست؛ دو جواب از قلم افتاده‌اند. برای پیدا کردن علت، به مرحله انتخاب زاویه‌ها برگردید: احتمالاً زاویه 2x فقط در یک دور بررسی شده، در حالی که بازه آن تا 4π ادامه داشته است.

دو کنترل جدا انجام دهید. در کنترل اعتبار، هر جواب پیشنهادی را در معادله اولیه و بازه اصلی بررسی کنید. در کنترل کامل‌بودن، ببینید همه شاخه‌ها و مقدارهای مجاز k بررسی شده‌اند یا نه. جای‌گذاری به‌تنهایی کامل‌بودن مجموعه را نشان نمی‌دهد. کنار پاسخ ناقص، علت را مشخص بنویسید: «بازه x را برای 2x استفاده کردم». این یادداشت دقیق‌تر از عبارت کلی «بی‌دقتی کردم» است و نشان می‌دهد کدام گام باید دوباره تمرین شود.

• اگر یک شاخه غایب است، رابطه جواب عمومی را بازنویسی کنید.
• اگر یک دوره غایب است، بازه عبارت داخل تابع را دوباره حساب کنید.
• اگر فقط مرزها اشتباه‌اند، علامت‌های کوچک‌تر و کوچک‌تر یا مساوی را بررسی کنید.

مراقب تبدیل‌هایی باشید که جواب را حذف یا اضافه می‌کنند

در معادله sin(x)(2cos(x) − 1) = 0، تقسیم دو طرف بر sin(x) ممکن است جواب‌هایی را حذف کند؛ چون هنوز نمی‌دانیم سینوس صفر است یا نه. از خاصیت حاصل‌ضرب صفر استفاده کنید: یا sin(x) = 0، یا cos(x) = 1/2. در بازه 0 ≤ x ≤ 2π، حالت اول صفر، π و 2π را می‌دهد و حالت دوم π/3 و 5π/3 را. مجموعه جواب اجتماع این دو دسته است.

اگر مستقیم تقسیم کنید، سه جواب حالت اول ناپدید می‌شوند. راه درست این است که پیش از تقسیم، حالت صفرشدن مقسوم‌علیه را جدا بررسی کنید. این نکته مخصوص یک ظاهر خاص از معادله نیست؛ هر بار می‌خواهید عاملی شامل مجهول را حذف کنید، باید ببینید آیا آن عامل می‌تواند صفر شود.

مربع‌کردن نیز نیاز به کنترل دارد، زیرا علامت را از بین می‌برد. مثلاً از sin(x) = 1/2 می‌توان sin²(x) = 1/4 را نتیجه گرفت، اما معادله دوم مقدار منفی یک‌دوم را هم برای سینوس می‌پذیرد. اگر در مسیر حل از چنین تبدیلی استفاده کردید، جواب‌های حاصل را در معادله اولیه جای‌گذاری کنید؛ بررسی همان معادله مربع‌شده کافی نیست.

مسیر محاسبه را در پاسخ تشریحی قابل پیگیری نگه دارید

پاسخ را با همان مجهولی تمام کنید که در صورت تمرین آمده است. اگر برای ساده‌شدن نوشتن، t را جای 2x گذاشته‌اید، فهرست زاویه‌های t پاسخ نهایی نیست. یک سطر روشن برای بازگشت بنویسید و سپس مجموعه x را ارائه کنید. همچنین مشخص کنید هر فهرست مربوط به کدام شاخه است؛ مخلوط‌کردن دو شاخه در میان محاسبه، تشخیص جواب جاافتاده یا تکراری را دشوار می‌کند.

برای مثال اصلی می‌توانید بدون تغییر متغیر هم بنویسید: x = π/12 + kπ یا x = 5π/12 + kπ. سپس محدودیت 0 ≤ x ≤ 2π را جدا روی هر رابطه اعمال کنید. این مسیر و روش تغییر متغیر هر دو معتبرند؛ کافی است بازه را با همان متغیری بررسی کنید که در رابطه حضور دارد. در نسخه نهایی پاسخ، یک مسیر منظم را کامل بنویسید تا معلوم باشد مقدارهای مجاز k چگونه انتخاب شده‌اند.

• اگر جواب عمومی می‌نویسید، صحیح‌بودن k را ذکر کنید.
• اگر جواب در بازه خواسته شده است، مقدارهای مجاز را صریح فهرست کنید.
• مرتب‌کردن جواب‌ها از کوچک به بزرگ، دیدن تکرارها و مرزها را آسان‌تر می‌کند.
• صفر و 2π دو عدد متفاوت‌اند؛ هم‌مکان‌بودن روی دایره دلیل حذف یکی از آن‌ها نیست.

تمرین کوتاه: اثر بازبودن انتهای بازه را بررسی کنید

این بار sin(2x) = 0 را در بازه 0 ≤ x < π حل کنید. پیش از ادامه متن، بازه زاویه 2x را بنویسید و مقدارهای صفرشدن سینوس را در آن پیدا کنید. در این تمرین، هدف محاسبه پیچیده نیست؛ باید نشان دهید مرز باز بازه را همراه با تغییر زاویه حفظ می‌کنید.

با t = 2x به بازه 0 ≤ t < 2π می‌رسیم. سینوس در این بازه برای t = 0 و t = π صفر است؛ مقدار 2π به دلیل بازبودن انتهای بازه پذیرفته نمی‌شود. بنابراین جواب‌ها x = 0 و x = π/2 هستند. اگر π را هم در پاسخ نوشته‌اید، معادله را درست حل کرده‌اید اما محدودیت بازه را رعایت نکرده‌اید. اگر صفر را حذف کرده‌اید، احتمالاً مرز بسته آغاز بازه را ندیده‌اید.

حالا فقط علامت انتهای بازه را به کوچک‌تر یا مساوی تغییر دهید و دوباره مجموعه جواب را بنویسید. تنها جواب تازه x = π خواهد بود. مقایسه این دو نسخه کمک می‌کند نقش شرط بازه را در پاسخ خود ببینید، بدون اینکه لازم باشد معادله دیگری یاد بگیرید.

جمع‌بندی

در معادله مثلثاتی، یک جواب درست لزوماً مجموعه جواب کامل نمی‌سازد. زنجیره کار را روشن نگه دارید: تشخیص زاویه، نوشتن شاخه‌ها، اعمال بازه و بازگشت به مجهول اصلی. برای شروع، یکی از پاسخ‌های قبلی خود را بردارید و فقط بررسی کنید آیا بازه را برای همان عبارتی به کار برده‌اید که داخل تابع قرار دارد. اگر جوابی جا افتاده است، همان گام را اصلاح کنید و مجموعه را دوباره به دست آورید.