حل نامعادله درجه دوم در ریاضی یازدهم با جدول تعیین علامت؛ از ریشه‌ها تا مجموعه جواب

حل نامعادله درجه دوم در ریاضی یازدهم با جدول تعیین علامت از کجا شروع می‌شود؟

جدول تعیین علامت زمانی به کار می‌آید که بدانید علامت کدام عبارت را بررسی می‌کنید. بنابراین نامعادله را به صورت مقایسه یک عبارت با صفر بنویسید. مثلاً در x² > x + 6، با کم کردن x + 6 از دو طرف به x² − x − 6 > 0 می‌رسید. اکنون مسئله روشن است: کدام مقدارهای x عبارت سمت چپ را مثبت می‌کنند؟ هنگام انتقال جمله‌ها، هر خط را کامل بنویسید تا علامت یک جمله در ذهن جابه‌جا نشود.

در این مرحله می‌توانید عبارت را ساده کنید یا عامل مشترک عددی را کنار بگذارید، اما جهت نامساوی را زیر نظر داشته باشید. تقسیم دو طرف بر عدد مثبت جهت را حفظ می‌کند؛ تقسیم بر عدد منفی آن را برمی‌گرداند. همچنین دو طرف را بر عبارتی شامل x تقسیم نکنید مگر علامت و صفرهای آن را بررسی کرده باشید؛ چنین کاری ممکن است بخشی از جواب را حذف کند.

• یک طرف نامعادله را صفر کنید.
• جمله‌های هم‌نوع را جمع کنید و ضریب x² را مشخص کنید.
• پیش از یافتن ریشه‌ها، جهت نامساوی را دوباره بخوانید.

ریشه‌ها مرز بازه‌اند؛ هنوز جواب نهایی نیستند

برای عبارت x² − x − 6، تجزیه به صورت (x − 3)(x + 2) است. در نتیجه، عبارت در x = −2 و x = 3 صفر می‌شود. این دو عدد محور را به سه قسمت تقسیم می‌کنند: عددهای کوچک‌تر از −2، عددهای بین −2 و 3 و عددهای بزرگ‌تر از 3. ریشه‌ها را از کوچک به بزرگ قرار دهید؛ ترتیب نوشتن عامل‌ها در تجزیه تعیین‌کننده ترتیب ستون‌های جدول نیست.

تفاوت معادله و نامعادله در همین نقطه دیده می‌شود. معادله می‌پرسد عبارت کجا صفر است، اما نامعادله ممکن است مثبت یا منفی بودن آن را بخواهد. پس نوشتن «x = −2 یا x = 3» برای مسئله ما کافی نیست و حتی این دو مقدار شرط بزرگ‌تر بودن از صفر را برقرار نمی‌کنند. ریشه‌ها فعلاً فقط مرزهایی هستند که به کمک آن‌ها بازه‌های قابل بررسی را ساخته‌اید.

• اگر تجزیه روشن نیست، ریشه‌ها را با روش مناسب حل معادله درجه دوم پیدا کنید.
• ریشه‌های به‌دست‌آمده را در عبارت اولیه جای‌گذاری کنید تا صفر شدن آن بررسی شود.
• صفرهای عبارت و مجموعه جواب نامعادله را در دو خط جدا بنویسید.

مثال کامل: علامت هر عامل را به علامت حاصل‌ضرب وصل کنید

نامعادله آموزشی x² − x − 6 > 0 را ادامه دهید. در بازه x < −2، هر دو عامل x − 3 و x + 2 منفی‌اند؛ حاصل‌ضرب آن‌ها مثبت می‌شود. در بازه −2 < x < 3، عامل اول منفی و عامل دوم مثبت است؛ پس حاصل‌ضرب منفی است. در بازه x > 3، هر دو عامل مثبت‌اند و حاصل‌ضرب مثبت می‌شود. در جدول کاغذی خود برای هر عامل یک سطر و برای حاصل‌ضرب یک سطر جدا قرار دهید.

چون خواسته مسئله مثبت بودن عبارت است، دو بازه بیرونی را انتخاب می‌کنیم. جواب به صورت x < −2 یا x > 3 نوشته می‌شود و نمایش بازه‌ای آن (−∞, −2) ∪ (3, +∞) است. علامت اجتماع یعنی کافی است عدد در یکی از این دو بازه قرار داشته باشد. برای کنترل، x = −3 را در عبارت بگذارید: حاصل ۶ و مثبت است. سپس x = 0 را امتحان کنید: حاصل −۶ است و نباید در جواب باشد.

• بازه x < −2: علامت عامل‌ها منفی و منفی؛ علامت عبارت مثبت.
• بازه −2 < x < 3: علامت عامل‌ها منفی و مثبت؛ علامت عبارت منفی.
• بازه x > 3: علامت عامل‌ها مثبت و مثبت؛ علامت عبارت مثبت.

ضریب منفی و علامت مساوی را جداگانه مدیریت کنید

اکنون نامعادله −2x² + 8x − 6 ≥ 0 را بررسی کنید. اگر دو طرف را بر −2 تقسیم کنید، باید بنویسید x² − 4x + 3 ≤ 0. جهت نامساوی عوض شده است. عبارت جدید به (x − 1)(x − 3) تجزیه می‌شود و بین ریشه‌های ۱ و ۳ منفی است. چون صفر شدن هم پذیرفته شده، جواب 1 ≤ x ≤ 3 یا بازه [1, 3] خواهد بود.

می‌توانید بدون تقسیم نیز علامت عبارت اصلی را بررسی کنید: عامل ثابت −2 علامت حاصل‌ضرب دو عامل دیگر را برعکس می‌کند. هر دو مسیر باید به جواب یکسان برسند. خطای رایج این است که دانش‌آموز عبارت را بر عدد منفی تقسیم می‌کند اما همچنان دنبال بازه مثبت عبارت جدید می‌گردد. برای جلوگیری از این خطا، پس از تقسیم، نامعادله تازه را کامل بنویسید و انتخاب بازه‌ها را فقط بر اساس همان خط انجام دهید.

• در نامساوی‌های > و <، ریشه‌ها در جواب نیستند.
• در نامساوی‌های ≥ و ≤، صفرهای عبارت در جواب قرار می‌گیرند.
• برای مرز پذیرفته‌شده کروشه و برای مرز پذیرفته‌نشده پرانتز بنویسید؛ کنار بی‌نهایت همیشه پرانتز می‌آید.

وقتی دو ریشه متمایز نداریم، جدول چه تغییری می‌کند؟

قاعده تغییر علامت در دو سوی ریشه را برای هر وضعیتی تکرار نکنید. در عبارت (x − 2)²، ریشه ۲ تکراری است و عبارت در هر دو سوی آن مثبت می‌ماند؛ فقط در خود ۲ صفر می‌شود. بنابراین (x − 2)² < 0 هیچ جوابی ندارد، اما (x − 2)² ≤ 0 فقط جواب x = 2 را دارد. همچنین برای (x − 2)² > 0، همه عددهای حقیقی به‌جز ۲ پذیرفته می‌شوند.

اگر عبارت درجه دوم ریشه حقیقی نداشته باشد، محور به چند بازه جدا تقسیم نمی‌شود و علامت عبارت در سراسر محور ثابت می‌ماند. مثلاً x² + 1 همیشه مثبت است؛ پس نامعادله x² + 1 > 0 برای همه عددهای حقیقی برقرار است و x² + 1 < 0 جوابی ندارد. در حالت کلی، وقتی نبود ریشه حقیقی را بررسی کرده‌اید، علامت ضریب x² علامت عبارت را نشان می‌دهد. این نتیجه را پیش از بررسی تعداد ریشه‌ها به کار نبرید.

• دو ریشه متمایز: سه بازه برای بررسی دارید.
• ریشه تکراری: علامت عبارت در عبور از ریشه عوض نمی‌شود.
• بدون ریشه حقیقی: علامت عبارت در کل محور ثابت است.

پاسخ نادرست را از محل اولین خطا اصلاح کنید

فرض کنید برای x² − x − 6 > 0 نوشته‌اید −2 < x < 3. لازم نیست تمام محاسبات را از نو انجام دهید. ابتدا ریشه‌ها را بررسی کنید؛ اگر درست‌اند، یک عدد ساده از بازه انتخابی بردارید. با قرار دادن صفر، حاصل −۶ می‌شود و مشخص است که این بازه شرط مثبت بودن را ندارد. حالا به سطر علامت حاصل‌ضرب برگردید: آیا علامت را اشتباه نوشته‌اید یا بازه‌های منفی را به جای مثبت برداشته‌اید؟ این دو خطا به تمرین یکسان نیاز ندارند.

اگر سطر علامت درست است اما انتخاب بازه اشتباه شده، کنار نامعادله با کلمات بنویسید «بازه‌های مثبت را می‌خواهم». اگر ریشه درست ولی مرز بازه اشتباه است، فقط مقدار ریشه را در شرط اصلی بررسی کنید. اگر ریشه‌ها اشتباه‌اند، پیش از دست زدن به جدول، تجزیه یا محاسبه معادله را اصلاح کنید. کنترل با یک عدد خطاهای زیادی را آشکار می‌کند، اما به‌تنهایی جای بررسی همه بازه‌ها و مرزها را نمی‌گیرد.

• خطای ریشه: محاسبه معادله را اصلاح کنید.
• خطای علامت: علامت هر عامل را جدا بنویسید.
• خطای انتخاب بازه: مثبت یا منفی بودن خواسته را مشخص کنید.
• خطای مرز: وجود یا نبود مساوی در نامساوی را بررسی کنید.

تمرین مستقل: یک عبارت ثابت، چهار مجموعه جواب متفاوت

برای تمرین، عبارت x² − 4x + 3 را یک بار تعیین علامت کنید و سپس چهار شرط > 0، ≥ 0، < 0 و ≤ 0 را جداگانه حل کنید. این تمرین کمک می‌کند اثر جهت نامساوی را از محاسبه ریشه‌ها جدا ببینید. پیش از خواندن ادامه، برای هر شرط یک خط جواب بنویسید و کنار آن توضیح دهید چرا ریشه‌ها را پذیرفته یا حذف کرده‌اید.

ریشه‌ها ۱ و ۳ هستند؛ عبارت بیرون این دو ریشه مثبت و بین آن‌ها منفی است. بنابراین برای > 0 جواب x < 1 یا x > 3 است؛ برای ≥ 0 جواب x ≤ 1 یا x ≥ 3 می‌شود. برای < 0، بازه 1 < x < 3 را می‌نویسیم و برای ≤ 0، جواب 1 ≤ x ≤ 3 است. پاسخ خود را ابتدا از نظر بازه‌ها و سپس از نظر مرزها مقایسه کنید تا علت اختلاف روشن بماند.

• در پاسخ تشریحی، شکل استاندارد نامعادله را بنویسید.
• ریشه‌ها و جدول علامت را نشان دهید.
• مجموعه جواب را در خط پایانی با نمادگذاری روشن بیاورید.
• یک مقدار داخل جواب و یک مقدار بیرون آن را برای کنترل انتخاب کنید.

جمع‌بندی

در حل نامعادله درجه دوم، پیدا کردن ریشه‌ها فقط مرزهای بررسی را مشخص می‌کند. پاسخ کامل زمانی ساخته می‌شود که علامت عبارت را در بازه‌ها بدانید، بخش‌های سازگار با شرط را انتخاب کنید و درباره حضور ریشه‌ها تصمیم بگیرید. برای تمرین بعدی، یک نامعادله از تمرین‌های در دسترس خود بردارید و زیر پاسخ سه خط جدا بنویسید: «ریشه‌ها»، «بازه‌های مطلوب» و «وضعیت مرزها». اگر جواب اشتباه شد، همین سه خط نشان می‌دهند کدام بخش را باید اصلاح کنید.